O Universo das exatas ao seu alcance.
Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 10
10) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(-1, 0, -1) e C(2, -1, 0).
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 9
9) Dados os pontos A(3, m - 1 , -4) e B(8, 2m - 1 , m), determinar m de modo que | AB | = √35.
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 8
8) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |v| = 7, sendo v
= mAC + BC.
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= mAC + BC.
Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 7
7) Seja o vetor v = (m + 7)i + (m + 2)j + 5k. Calcular m para que |v| = √38.
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 6
6) Determinar o valor de n para que o vetor v = (n, 2/5, 4/5) seja unitário.
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 5
5) Verificar se são unitários os seguintes vetores:
u = (1, 1, 1) e v = (1/√6, -2/√6, 1/√6)
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u = (1, 1, 1) e v = (1/√6, -2/√6, 1/√6)
Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 4
4) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(-6, -2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3BA - 2BC.
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 3
3) Determinar o vetor v, sabendo que
(3, 7, 1) + 2v = (6, 10, 4) - v.
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 2
2) Dados os pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar o vetor x tal que 2x - AB = x + (BC . AB) AC.
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 3.16, Problema proposto nº 1
1) Dados os vetores u = (1, a, -2a - 1), v = (a, a -1, 1) e w = (a, -1, 1), determinar a de modo que u . v = (u + v) . w.
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Para que serve a Geometria Analítica? Qual sua utilização? Qual sua aplicação?
FONTE 1
A Geometria Analítica é a "tradução" da geometria numa forma algébrica (álgebra=equações com incógnitas). Assim, ao invés de resolvermos um problema de geometria usando retas, planos, circunferências etc, resolvemos o problema usando equações. Para isso, primeiramente traduzimos o problema geométrico em equações e depois resolvemos essas equações, dai traduzimos novamente as soluções encontradas na forma geométrica.
Um vetor é uma informação que além de nos mostrar uma quantidade, também nos fornece uma direção e um sentido. Por exemplo, podemos dizer que um carro anda a 100 km/h, mas podemos obter uma informação mais completa dizendo que um carro vai de leste para oeste a 100 Km/h. Ou seja, além de informamos a velocidade também informamos o sentido e a direção em que o carro anda. Outro exemplo, podemos dizer que uma força de 10 N (newtons) é aplicada, contudo precisamos saber em que direção essa força é aplicada. Todos os corpos da superfície da Terra sofrem uma força de aproximadamente 10 N "para baixo", ou melhor, "na direção do centro da Terra". Por isso, ao mesmo tempo nos aqui no Brasil e os japoneses somos atraídos para o chão. Esta é justamente a força gravitacional, ou força peso.
Fonte: Yahoo.
Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica, livro: Steinbruch e Winterle - Clique AQUI
FONTE 2
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas (isso mesmo, aquele dos eixos x e y) para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões (o espaço R2), mas por vezes também em três ou mais dimensões, o dito espaço R3, embora muito difícil de ser trabalhado no ensino médio, é frequentemente cobrado em um ensino superior na área de exatas, como por exemplo nas disciplinas de cálculo diferencial e equações diferenciais. Um bom software para a construção de gráficos é o gnuplot, que trabalha através de comandos (em inglês) tanto com 2D como com 3D, e que tem a vantagem de ser gratuito e de interface de comando fácil (pode ser baixado em www.gnuplot.info):
Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês Rene Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas, porém quase na mesma época (um pouco antes de Descartes), outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601 - 1665) já havia enunciado os princípios da geometria analítica e tinha até deduzido equações de retas e parábolas, mas não o publicou devido em grande parte a sua modéstia. Provavelmente, se tivesse publicado, as coordenadas que hoje chamamos de "cartesianas" poderiam se chamar de "fermatianas".
Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma. Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intituladoGeometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
Os temas importantes de geometria analítica incluem:
A Geometria Analítica é a "tradução" da geometria numa forma algébrica (álgebra=equações com incógnitas). Assim, ao invés de resolvermos um problema de geometria usando retas, planos, circunferências etc, resolvemos o problema usando equações. Para isso, primeiramente traduzimos o problema geométrico em equações e depois resolvemos essas equações, dai traduzimos novamente as soluções encontradas na forma geométrica.
Um vetor é uma informação que além de nos mostrar uma quantidade, também nos fornece uma direção e um sentido. Por exemplo, podemos dizer que um carro anda a 100 km/h, mas podemos obter uma informação mais completa dizendo que um carro vai de leste para oeste a 100 Km/h. Ou seja, além de informamos a velocidade também informamos o sentido e a direção em que o carro anda. Outro exemplo, podemos dizer que uma força de 10 N (newtons) é aplicada, contudo precisamos saber em que direção essa força é aplicada. Todos os corpos da superfície da Terra sofrem uma força de aproximadamente 10 N "para baixo", ou melhor, "na direção do centro da Terra". Por isso, ao mesmo tempo nos aqui no Brasil e os japoneses somos atraídos para o chão. Esta é justamente a força gravitacional, ou força peso.
Fonte: Yahoo.
Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica, livro: Steinbruch e Winterle - Clique AQUI
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas (isso mesmo, aquele dos eixos x e y) para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões (o espaço R2), mas por vezes também em três ou mais dimensões, o dito espaço R3, embora muito difícil de ser trabalhado no ensino médio, é frequentemente cobrado em um ensino superior na área de exatas, como por exemplo nas disciplinas de cálculo diferencial e equações diferenciais. Um bom software para a construção de gráficos é o gnuplot, que trabalha através de comandos (em inglês) tanto com 2D como com 3D, e que tem a vantagem de ser gratuito e de interface de comando fácil (pode ser baixado em www.gnuplot.info):
Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês Rene Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas, porém quase na mesma época (um pouco antes de Descartes), outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601 - 1665) já havia enunciado os princípios da geometria analítica e tinha até deduzido equações de retas e parábolas, mas não o publicou devido em grande parte a sua modéstia. Provavelmente, se tivesse publicado, as coordenadas que hoje chamamos de "cartesianas" poderiam se chamar de "fermatianas".
Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma. Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intituladoGeometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
Os temas importantes de geometria analítica incluem:
- Espaço vetorial
- Conceitos primitivos (ponto, reta e plano)
- Problemas de distância entre pontos e entre ponto e reta
- O produto escalar para obter o ângulo entre dois vetores
- O produto vetorial para obter um vetor perpendicular a dois vetores conhecidos (e também o seu volume espacial)
- Problemas de intersecção
Fonte: wikipédia, http://profleonardomatematica.blogspot.com.br/2011/04/geometria-analitica-o-que-e-e-para-que.html
Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica, livro: Steinbruch e Winterle - Clique AQUI
Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 2.8, nº 15
15) Determinar o simétrico do ponto P(3, 1, -2) em relação ao ponto A(-1, 0, -3).
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 2.8, nº 14
14) Mostrar que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) são vértices de um
paralelogramo.
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paralelogramo.
Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 2.8, nº 12
12) Verificar se são colineares os pontos:
a) A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1)
b) A(2, 1, -1), B(3, -1, 0) e C(1, 0, 4)
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a) A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1)
b) A(2, 1, -1), B(3, -1, 0) e C(1, 0, 4)
Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 2.8, nº 13
13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1, -2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7).
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 2.8, nº 11
11) Determinar a e b de modo que os vetores u = (4, 1, -3) e v = (6, a, b) sejam paralelos.
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Qual é a derivada da secante ( secx )? Como resolver?
Sabemos que:
secx=1/cosx
Derivando:
(secx)'=(1/cosx)'
Pela Propriedade do quociente de funções em que:
f(x)/g(x) = [(f'(x).g(x)) - (f(x).g'(x))]/g(x)²
Temos que:
sec'x=[1'cosx-1.cosx']/cos²x
Como cosx'=-senx, e 1'=0, substituindo teremos:
(secx)'=[0.cosx-1.(-senx)]/cos²x
(secx)'=senx/cos²x
(secx)'=senx/cosx.1/cosx
(secx)'=tgx.secx
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secx=1/cosx
Derivando:
(secx)'=(1/cosx)'
Pela Propriedade do quociente de funções em que:
f(x)/g(x) = [(f'(x).g(x)) - (f(x).g'(x))]/g(x)²
Temos que:
sec'x=[1'cosx-1.cosx']/cos²x
Como cosx'=-senx, e 1'=0, substituindo teremos:
(secx)'=[0.cosx-1.(-senx)]/cos²x
(secx)'=senx/cos²x
(secx)'=senx/cosx.1/cosx
(secx)'=tgx.secx
...........................................................
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- Potenciação
- Conjuntos
- Radiciação
- Função Exponencial e Logaritmos
- Fatoração
- Inequações
- Funções
- Módulo
- Parábolas
- Progressão Aritmética
- Progressão Geométrica
- Trigonometria Básica
- Função Polinomial de Primeiro Grau
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Qual é a derivada da cossecante ( cossecx )? Como resolver?
Vamos provar que a derivada da cossecante é igual a -cotg(x).cossecx(x).
Sabe-se que a cossecante é igual a:
cossecx= 1/sen(x)
Derivando:
(cossecx)'= ( 1/sen(x) )'
Pela Propriedade do quociente de funções em que:
f(x)/g(x) = [(f'(x).g(x)) - (f(x).g'(x))]/g(x)²
Temos que:
(cossecx)'= [(1)' .(senx) - 1.(senx)']/ sen²x
Como (senx)'=cosx, e (1)'=0, substituindo teremos:
(cossecx)'= (0.senx - 1.cosx)/ sen²x
(cossecx)'= -cosx/sen²x
(cossecx)'= (-cosx/senx).(1/senx)
Como -cosx/senx=-Cotgx e, 1/senx=cossecx, substituindo temos que:
(cossecx)'= -cotgx.cossecx
Portanto provamos que a derivada da cossecante é igual a -cotgx.cossecx.
Qual é a derivada da Cotangente ( cotgx ) ? Como se resolve?
cotgx = 1/tgx
cotgx = cosx/senx
(cotgx)'= (cosx/senx)'
Pela Propriedade do quociente de funções em que:
f(x)/g(x) = [(f'(x).g(x)) - (f(x).g'(x))]/g(x)²
Temos que:
(cotgx)'= [cosx'.senx-cosx.senx']/sen²x
(cotgx)'= [-senx.senx-cosxcosx]/sen²x
(cotgx)'= -[sen²x+cos²x]/sen²x
(cotgx)'= -1/sen²x
(cotgx)'= -cossec²x
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cotgx = cosx/senx
(cotgx)'= (cosx/senx)'
Pela Propriedade do quociente de funções em que:
f(x)/g(x) = [(f'(x).g(x)) - (f(x).g'(x))]/g(x)²
Temos que:
(cotgx)'= [cosx'.senx-cosx.senx']/sen²x
(cotgx)'= [-senx.senx-cosxcosx]/sen²x
(cotgx)'= -[sen²x+cos²x]/sen²x
(cotgx)'= -1/sen²x
(cotgx)'= -cossec²x
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Qual é a derivada da Tangente ( tgx ) ? Como se resolve?
f(x)= tg x
f(x)= senx/cosx
Derivando:
f'(x)= (senx/cosx)'
Pela Propriedade do quociente de funções em que:
f(x)/g(x) = [(f'(x).g(x)) - (f(x).g'(x))]/g(x)²
Temos que:
f'(x)= (senx'.cosx-senxcosx')/cos²x
f'(x)= (cosx.cosx-senx(-senx))/cos²x
f'(x)= (cos² x+sen²x)/cos²x
f'(x)= 1/cos²xf'(x)=sec²x
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f(x)= senx/cosx
Derivando:
f'(x)= (senx/cosx)'
Pela Propriedade do quociente de funções em que:
f(x)/g(x) = [(f'(x).g(x)) - (f(x).g'(x))]/g(x)²
Temos que:
f'(x)= (senx'.cosx-senxcosx')/cos²x
f'(x)= (cosx.cosx-senx(-senx))/cos²x
f'(x)= (cos² x+sen²x)/cos²x
f'(x)= 1/cos²xf'(x)=sec²x
............................................
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 2.8, nº 10
10) Encontrar os números a1 e a2 tais que w = a1v1 + a2v2, sendo v1 = (1, -2, 1), v2 = (2, 0, -4) e w = (-4, -4, 14).
(tal que w, v1, v2 são vetores)
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(tal que w, v1, v2 são vetores)
Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 2.8, nº 9
9) Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1)+ 2v = (6, 10, 4) - v.
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Resolução livro Geometria Analítica Steinbruch e Winterle, Exercício resolvido Capítulo 2.8, nº 8
8) Dados os pontos A(-1, 2, 3) e B(4, -2, 0), determinar o ponto P tal que AP = 3AB.
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