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Propriedades dos Limites Exponênciais

Propriedades dos limites de f(x)=b^x (b elevado a x), onde b>0 e b#1 para x->+∞ ou  x->-
(lembrando que ^ significa potência)

P1. Se b>1,   Lim  b^x= 0    e     Lim  b^0= +
                     x->-∞                     x->+
Exemplo:
a) Lim  5^x = 5^ -
= (1/5)^ = 0
   x->-

Como podemos ver, um numero maior que 1 elevado a um numero infinitamente negativo é zero, pois o sinal negativo da potência faz o 5 tornar-se 1/5, e agora 1/5 elevado ao infinito faz do denominador um numero muito grande, e 1/
∞ se aproxima a Zero.

b) Lim 5^x = 5^
= +
   x->+
Imagine um número maior que 1 com potência infinita, então esse limite tenderá ao infinito.


P2. Se 0<b<1,    Lim  b^x = 0      e      Lim  b^x+

                          x->+                        x->-
Exemplo:

a)  Lim  (2/3)^x = (2/3)^  = 0
    x->+
Um número pequeno elevado a um número infinitamente grande torna-se cada vez mais próximo à zero, por isso o limite tenderá a Zero.

b)  Lim  (2/3)^x = (2/3)^ -
= (3/2)^ +
    x->-
Perceba que o sinal negativo do expoente inverte a fração e passa a ser positivo, agora 3/2= 1,5, e um numero maior que 1 elevado a um expoente infinitamente positivo faz o limite tender ao infinito.



P3. Se  Lim  f(x) = +  e  b>1, então  Lim b^f(x) = +
           x->a                                       x->a
Exemplo:
a)  Lim 3^1/x² = ?      
    x->0
Então, usando a propriedade P3 temos:
 Lim  1/x²

 x->0
Substituindo:
 Lim 3^

 x->0


P4. Se  Lim  f(x) = +∞  e  0<b<1, então  Lim b^f(x) = 0
           x->a                                           x->a
Exemplo:
a)  Lim (1/2)^3/x² = ?
    x->0
Então, usando a propriedade P4 temos:
 Lim 3/x² = 
 x->0
Substituindo:
 Lim (1/2)^ = 0
 x->0


P5. Se  Lim  f(x) = -∞  e  b>1, então  Lim b^f(x) = 0
           x->a                                      x->a
Exemplo:
a)  Lim 4^= ?
    x->-
Então, usando a propriedade P5 temos:
 Lim  = (-∞)³ = -
 x->-
Substituindo:
 Lim 4^-= (1/4)^= 0
 x->-


P6. Se  Lim  f(x) = -  e  0<b<1, então  Lim b^f(x) = +
           x->a                                          x->a
Exemplo:
a)  Lim (1/3)^ = ?
    x->-
Então, usando a propriedade P6 temos:
 
Lim   = (-∞)³ = -

 x->-
Substituindo:
 Lim (1/3)^ - = (3)^= 
 x->-

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Bons estudos!

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