Leis do Limite - PROPRIEDADES

Existem algumas relações que devem ser levadas em conta na hora de resolver alguns exercícios de limite.
Eis então algumas Propriedades da soma, subtração, multiplicação e divisão:

1. Lim[f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x) ;
    x->a                x->a        x->a

2. Lim[f(x)-g(x)] = Lim f(x) - Lim g(x) ;

    x->a               x->a       x->a

3. Lim[f(x).g(x)] = Lim f(x) . Lim g(x) ;

    x->a               x->a       x->a

4.   ;

5.;

Outra opção:



;

Exemplo da propriedade 5:

Exemplo 2 da propriedade 5:

.

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Tenham um bom estudo!!
Comentem e compartilhem.
Qualquer dúvida estamos a disposição.

Propriedades dos Limites Exponênciais

Propriedades dos limites de f(x)=b^x (b elevado a x), onde b>0 e b#1 para x->+∞ ou  x->-∞
(lembrando que ^ significa potência)

P1. Se b>1,   Lim  b^x= 0    e     Lim  b^0= +∞
                     x->-∞                     x->+∞
Exemplo:
a) Lim  5^x = 5^ -∞ = (1/5)^ ∞ = 0
   x->-∞
Como podemos ver, um numero maior que 1 elevado a um numero infinitamente negativo é zero, pois o sinal negativo da potência faz o 5 tornar-se 1/5, e agora 1/5 elevado ao infinito faz do denominador um numero muito grande, e 1/∞ se aproxima a Zero.

b) Lim 5^x = 5^∞ = +∞
   x->+∞
Imagine um número maior que 1 com potência infinita, então esse limite tenderá ao infinito.


P2. Se 0<b<1,    Lim  b^x = 0      e      Lim  b^x = +∞
                          x->+∞                        x->-∞
Exemplo:
a)  Lim  (2/3)^x = (2/3)^ ∞ = 0
    x->+∞
Um número pequeno elevado a um número infinitamente grande torna-se cada vez mais próximo à zero, por isso o limite tenderá a Zero.

b)  Lim  (2/3)^x = (2/3)^ -∞ = (3/2)^ ∞ = +∞
    x->-∞
Perceba que o sinal negativo do expoente inverte a fração e passa a ser positivo, agora 3/2= 1,5, e um numero maior que 1 elevado a um expoente infinitamente positivo faz o limite tender ao infinito.


P3. Se  Lim  f(x) = +∞  e  b>1, então  Lim b^f(x) = +∞
           x->a                                       x->a
Exemplo:
a)  Lim 3^1/x² = ?      
    x->0
Então, usando a propriedade P3 temos:
 Lim  1/x² = ∞
 x->0
Substituindo:
 Lim 3^∞ = ∞
 x->0


P4. Se  Lim  f(x) = +∞  e  0<b<1, então  Lim b^f(x) = 0
           x->a                                           x->a
Exemplo:
a)  Lim (1/2)^3/x² = ?
    x->0
Então, usando a propriedade P4 temos:
 Lim 3/x² = ∞
 x->0
Substituindo:
 Lim (1/2)^∞ = 0
 x->0


P5. Se  Lim  f(x) = -∞  e  b>1, então  Lim b^f(x) = 0
           x->a                                      x->a
Exemplo:
a)  Lim 4^x³ = ?
    x->-∞
Então, usando a propriedade P5 temos:
 Lim x³  = (-∞)³ = -∞
 x->-∞
Substituindo:
 Lim 4^-∞ = (1/4)^∞ = 0
 x->-∞


P6. Se  Lim  f(x) = -∞  e  0<b<1, então  Lim b^f(x) = +∞
           x->a                                          x->a
Exemplo:
a)  Lim (1/3)^x³ = ?
    x->-∞
Então, usando a propriedade P6 temos:
 Lim x³  = (-∞)³ = -∞
 x->-∞
Substituindo:
 Lim (1/3)^ -∞ = (3)^∞ = ∞
 x->-∞

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Bons estudos!

Propriedades Fundamentais De Limites Trigonométricos

É importante frisar que a maioria dos exercícios de limites trigonométricos são resolvidos com a primeira propriedade;
Não podemos esquecer também da relação fundamental da trigonometria na resolução dos exercícios:

sen² Ө + cos² Ө = 1  (Vários exercícios também usam essa relação);
A sacada desse tipo de limite é trabalhar a equação até que possamos usar a primeira propriedade, e faremos isso muitas vezes pelo usa dessa relação fundamental da trigonometria, e também pelo uso de arcos complementares para simplificarmos a equação;


1ª Propriedade:

Lim    sen x  = 1
x->0      x

Exemplo1:     Lim   sen 6x  =   Lim   sen 6x  .  6   =   Lim    sen 6x . 6 =  Lim  1.6  =  6

                     x->0      x            x->0       x        6        x->0      6x              x->0

Exemplo2:     Lim    sen 6x  =    6   =  3
                     x->0   sen 2x         2

(arco complementar)Por arco complementar temos que:
cos x = sen (/2) - x
Exemplo3:      Lim          cos  x       =   Lim       sen (/2) - x = 1
                     x->/2    (/2) - x          x->/2       (/2) - x

2ª Propriedade:

;

Exemplo:  Lim   sen(x² + 2x) = sen  [ lim (x² + 2x)] = sen3
                x->1                        x->1

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Bons estudos!